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작성자:
우점덕
작성일:
2019-04-04
조회수:
78
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내서중 2학년 수학 수업 참관록

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●일자 : 2019년 4월 2일 5교시

●수업자 : 상주 내서중학교 김OO 선생님

●대상 : 2학년 1반 18명

●단원 : 식의 계산

●주제 : 단항식과 다항식의 곱셈

●성취기준 : [9수02-08] ‘(단항식)×(다항식)’, ‘(다항식)÷(단항식)’과 같은 곱셈과 나눗셈의 원리를 이해하고 그 계산을 할 수 있다

●단원 구성

1,2차시 : 지수법칙(1),(2)

3,4차시 : 지수법칙(3),(4)

5차시 : 다항식의 덧셈과 뺄셈

6,7차시 : 단항식의 곱셈과 나눗셈

8차시 : 단항식과 다항식의 곱셈(본시)

9차시 : 단항식과 다항식의 나눗셈

10차시 : 다항식의 곱셈과 나눗셈

 

●수업 흐름

1. <활동1>을 통해 분배법칙에 대해 말할 수 있다.-모둠 활동과 공유

2. <활동2>에서는 셈법을 익힌다-모둠 활동

3. <점프>에서는 다양한 유형을 접해 본다-모둠 활동과 공유

 

●수업관

자유롭게 묻고 배우는 좋은 관계, 묻는 것이 부끄럽지 않은 안전한 공간, 교사와 학생이 망설임 없이 배우는 교실, 매일 세 번 정확하게 쌀을 씻어 맛있는 요리를 만드는 교사, 쉬지 않고 성장하는 수업, 실수가 잦은 다항식 계산에서 차근차근 계산의 과정을 밟기 바람, 원리 이해와 자신의 언어로 표현하기.

 

●3모둠을 중심으로 본 수업 진행

시작하자 오늘의 과제 분배법칙을 안내하고 바로 모둠이 시작되었다.

활동1 가로가 4a+b, 세로가 2a인 직사각형의 넓이를 이용하여 분배 법칙을 설명해 보자

(그림)

3모둠은 남학생 휘성과 준석 여학생 수영과 연홍이다. 수영이가 먼저 이야기를 했다. “얘를 반으로 나누어서..이거 아니야...” 휘성이가 수영에게 “설명해 봐.” 하였다. 수영은 식은 맞는데 설명은 못하겠다고 했다. 활동1에서 아이들은 직사각형의 넓이를 구하는 식을 만들었다. 2a(4a+b)라고 쓰고 분배법칙을 설명하지 못한다. 그렇지만 분배법칙을 설명해야 한다는 과제를 마주하고 고민한다.

8분에 공유를 했다. 도훈이가 설명을 했다. 은혜가 “...하는 것 아닌가...” 하였다. 듣고 자기 생각을 바로 말한다. 선생님은 다른 설명이 있는가 물었다.

“선생님이 해 볼게요.” 하였다. 전체 직사각형의 넓이와 작은 사각형의 합의 넓이가 같다. 2a(4a+b)=8a2+2ab가 되는 것이 분배법칙이다.

활동2를 하겠다고 하는데 휘성과 수영은 이미 풀기 시작했다.

 

활동2

1. 선생님과 함께 풀어 보자.

(1) 2a(a+2b-3) (2) -3x(2x-y)

 

 

2. 주의해야 할 사항은 무엇인가?

 

분배법칙을 적용해서 두 문제를 풀었다. 그리고 주의해야 할 사항은 아이들에게 물었다. 선생님의 풀이를 보고 아이들이 주의할 사항을 이야기했다.

“( )안에 있는 것을 다 곱해 준다, 음의 부호인가 양의 부호인가를 고민한다, 각 항을 곱할 때 +로 연결한다.”

선생님은 +에 동그라미를 하며 선생님이 좋아하는 과정으로 핵심이라고 했다. 주의할 사항은 다음에 아이들이 문제를 풀 때 주로 틀리는 부분이 되었다.

주의 사항을 짚어 본 후 3번 ‘다음 식을 전개하여라’ 4문항으로 들어갔다. 문제를 풀기 전 선생님은 “전개란?” 하고 물었다. “펼친다, ( )를 풀어서 분배법칙으로...” 선생님은 “훌륭합니다.” 하고 칭찬하였다. 아이들이 주춤거리는 지점은 단어이기도 한다. “암산하지 말고 과정을 써 주세요.”하였다.

3. 다음 식을 전개하여라

(1) 3(4x+5) (2) -2x(4x-y)

(3) -2a(a-4b+3) (4) (3x2-2x+4)(-2x)

휘성이 "4×2?" 물으니 누가 8이라고 한다. 휘성은 주먹으로 가볍게 책상을 치며 “곱셈을 못해.”하고 자책한다. 풀고 나서 서로 비교했다. 준석은 (3),(4)에서 - + 부호 쓰기가 안 맞다. 과정을 쓰게 되니 아이들이 헤매는 지점이 노출되었다.

6분 간 모둠을 하고 20분에 칠판에 공유를 했다. 모둠에서 1명씩 4명이 칠판에 나갔다. 3분 후 설명에 들어갔다. 휘성은 “이거... 해... 줘... 가지고... 했습니다.” 손으로 식을 짚으며 말했는데 말만 들으면 설명이 이상하다. 표현이 짧지만 이렇게 나가서 말하는 것이 자기 표현의 시작이 될 것이다. 아무도 이상하게 듣는 것 같지 않았다. 듣는 아이들은 모둠 상태에서 앞을 보았다. 수영은 해영이가 발표할 때 낙서를 했다. 수영이는 설명하기는 좋아하는데 공유에서 듣기는 멀어지는 것 같다.

선생님은 (4)의 풀이에서 부분 계산의 과정이 길 때 어떻게 하느냐 물은 뒤 기다렸다가 그럴 때는 여러 행을 묶는 ( )를 한다고 했다. 아이들이 “아~”하는 것은 어떻게 하는지 고민을 했다는 의미일 것이다. 배움은 듣기에서 일어난다.

28분에 점프에 들어갔다.

JUMP

다음 식을 계산하여라

을 간단히 하여라

1번을 준석이가 풀었다. 활동2(3),(4)가 틀리는 것을 봤는데 점프 1은 정확히 해결했다. 2가 복잡하다. 점프지만 1이 쉬워서 아이들은 즐거이 2로 진입했다. 그 배열이 오묘하다. 2번에 들어간 아이들은 헤매면서도 잡고 있다. 1번을 해결했던 쾌감을 기다리는 것일까. 4분이 지나서 선생님은 “분자가 다항식이고 분모가 하나일 때 뭐라고 하는가? ...공통분모라 합니다.” 하여 다항식의 문자나 상수가 모두 분모가 있다는 것을 암시했다. 아이들은 지우고 다시 시작했다. 5분 후 한 번 더 되돌리기가 있었다. 분자가 2x+y-2 분모가 4일 때 2x와 4에 대해서만 약분하면 안 된다는 것이었다. 선생님이 아이들의 풀이 속에서 함께 호흡하고 있었다.

준석이가 에서 분모를 12로 통분하였다. 그런데 수식을 옮겨 적을 때 +1을 빠뜨렸다. 통분의 아이디어를 보고 활동1 시작할 때 먼저 자기 풀이를 말했던 수영이가 “되는구나! 기다려 봐.”하고 다시 풀기 시작했다. 휘성이가 “1은?” 하니 준석이가 “아, 1 해야 되네.”하고 추가했다. 수영과 휘성이 준석에게 의존을 했다. 준석은 휘성을 통해 빠뜨렸던 1을 찾았다. 협력하고 의존한다. 연홍이는 줄곧 혼자 했다.

45분에 공유를 시작했다. 다은이가 (1)을 설명했는데 항과 항 사이 ×를 +로 썼다. 선생님은 친구들이 다은에게 해 줄 이야기가 있느냐 물었다. 친구들이 +가 ×라고 했다. 기호는 잘못 썼는데 계산은 맞았다. (2)는 린이 설명했다. 틀렸다.

선생님은 “머리가 아프지요. 머리가 좋아졌어요.” 하였다. 그리고 마쳤다. 몇몇 아이들은 계속 풀었다. 선생님이 마친 후 칠판에 (2)의 풀이를 쓰셨다. 보는 아이는 적었다. 맞는가 틀리는가, 그것보다 자기가 풀어 보는 것이 좋은 것 같았다.

 

●협의회

수업자 소감 : 가볍게 수업을 했는데 공개를 하니 긴장되었다. 생각이 끊어졌다. 아이들 관계가 좋아서 서로 잘 배운다. 3학년 담임인데 2학년 공개를 했다. 수업 공개가 쉽지 않다. 아이들이 관계를 통해 배운다. 이미 관계가 잘 되는 아이들이어서 나는 수고 없이 혜택을 누린다.

교수님 : 놀랍다. 아이들 관계가 좋다. 지시형의 가르침이 없고 계속 묻는 관계가 되니 배운다. 군더더기의 대화가 없다. 도훈, 민성, 연우 모둠에서 민성이 흥미롭다. 기초에서 수업에서 멀어지나 점프에서 일어나서 협력한다. 점프가 중요하다. 민성이를 발표시키니 과제를 해결한다. 린과 소현, 휘성과 준석이 묻고 배우는 관계다 놀랍다. 선생님의 어눌함이 전략이다. 개입이 오히려 방해될 수 있다.

유치원에서 공을 시소에 올리니 내려오는 것을 여러 번 해 본 후 시소를 평형으로 유지했다. 공이 안 굴러가니 다시 기울였다. 물리를 스스로 익혀 간다. 그대로 두면 물리를 깨닫는다. 함께 하면 좋겠다.

김 선생님 수업을 보고 싶었고 아이들과 잘 지내는지 궁금했다. 산길을 돌아왔지만 험한 길을 온 보람이 있다.

(상주연구회 선생님들과 협의회 계속함)

역사 : 수학 시간이면 반이 자는 것을 본 적이 있다. 그래서 선생님의 수학 수업이 어떤지 기대되었다. 아이들이 적극적으로 참여하고 자지 않아서 충격이었다. 점프 1번에 막히니 질문하고 질문 받은 아이는 자기 것을 풀다가 멈추고 가르쳐주었다. 잘 물어 본다. 선생님의 역할은 무엇일까? 모둠을 돌볼 때 답을 알려주지 않고 비계를 제공한다. 배움의공동체 수업을 어떻게 적용하는지 궁금했는데 많은 것을 배운다.

국어 : 아이들은 공개에 익숙하다. 속도와 실력이 다르지만 수용한다. 윤후는 베끼지만 알 때는 말한다. 힘들 때 선생님을 부르고 선생님은 눈높이에 맞춰 대화하신다. 문제 풀 때 자유롭게 말하고 듣고 자기 할 일을 한다. 수업 철학이 비슷하다고 생각했는데 수학 수업은 어떻게 하는가 보고 싶었다. 국어 시간은 아이들의 말이 많아서 조절이 안된다. 수학은 말하지 않고 푸는 시간이라고 생각했는데 자기 속도로 함께 흘러간다. 교사의 역할이 없는 듯하다. 필요할 때 개입하고 물러나는 것이 자연스럽다.

가정 : 중학교 수업은 처음 봐서 중학생은 다 그런가 했다. 시골학교에 가고 싶어진다. 찾아오는 길이 멀었지만 아이들이 예쁘게 배우고 고등학생보다 모둠을 잘하고 있다. 고등학생은 일과에 지쳤는지 적극적으로 참여하지 않는다. 혼자 풀거나 협력은 적게 한다. 여기 아이들은 자기 학습지라는 개념 없이 함께 풀고 불편해 하지 않는다. 되돌리기가 적절했다. 기본적 경청이 이루어지고 되돌리기 후 해결 속도가 빨라진다. 수학 시간이 재미있다. 학습지가 내게는 쉬워 보이는데 아이들에게는 어렵다. -2(마이너스)를 음의 2라고 하니 생소하다.

수업자 : 그 전의 선생님이 그렇게 가르쳤다. 보통 음수라 하는데 기회가 되면 바꾸어 주려고 한다.

역사 : 45분 중 활동3을 15분에 들어가서 남은 시간이 길어질 것 같았다. 아이들이 생각할 시간을 많이 주었다. 쉬는 시간까지 풀어 보고 있다. 끝나도 질문한다.

과학 : 민성, 도훈, 연우를 봤다. 민성이가 엎드려서도 앞을 보고 있고 암산으로 풀고 답만 적는다. 점프1까지 그렇게 했다. 도훈이 지명되었는데 나중에 힘들어 했다. 민성은 지명 받은 후 더 참여하는 것이 보였고 점프2를 열심히 했다. 서로 이야기하지 않고 각지 풀고 있고 연우도 잘 해결했다. 점프2에서 민성과 대화하였다. 민성은 설명이 부족했고 도훈은 보다가 그대로 적었다. 점프에서 아이들 이야기가 나왔고 칠판을 보고 틀린 것을 이야기했다. 점프에서 협력한다. 점프가 중요하다. 아이들의 관계가 좋다. 자리 배치는 어떻게 하는가?

수업자 : 반에서 제비를 뽑고 월 1회 바꾼다. 가끔 힘든 모둠이 생기면 수업 시간에 그 모둠을 오래 보게 된다. 학생 자치가 잘 되어 있다. 일곱 개 두레가 있고 선후배간 경어를 쓰지 않는다. 교복이 없고 복장 단속을 하지 않는다. 시스템이 대안학교 같다. 4박5일 두레별 외부 활동을 한다. 자치력이 관계력을 만든다.

수학(황) :잘 하는 아이들이 아니다. 선생을 안 하기로 각서를 받았다고 한다. 처음 맞는 과제이므로 관심도가 높다. ‘이것 어떻게 하는 거야?’ 묻는 것이 당연하다. 아이들 간 속도 차이가 크다. 점프1 공유할 때 다은이가 × 부호를 생략하고 +를 사용했는데 답은 나왔다. 문제를 많이 접하지 않았다. 정답을 맞히려고 안 한다. 보통 ‘답이 뭐야?’ ‘답 맞아?’ 하는데 정답 확인을 안한다. 어디서 틀렸는지 과정의 차이를 살핀다. 처음 대상을 만난 신비감을 맛본다. 수업에 몰입하게 한다. 3학년 아이들이 김 선생님 수학 시간이 재미있다고 했다. 루트가 재미있다고 했다. 선생님의 역할이라기보다 잘 배우는 관계가 호기심과 집중도를 높인다

수학(김) : 수학과의 눈으로 보면 미리 배운 아이는 배운 과정을 볼 수 없다. 선행을 하지 않으니 배우는 것이 재미있다. 인사하고 “뭐 배웠지? 오늘은 분배법칙을...” 30초 안 되어 모둠을 시작했다. 그리고 선생님은 도훈에게 먼저 가셨다. 도훈이가 발표한 후 자신감을 얻게 되었다. 지명이 아이의 배움을 돌본 것이다.

2모둠에서 진인사는 친구에게 거리낌없이 물었고 윤후는 자기 문제를 풀다가 가르쳐 주었다. 윤후는 칠판 발표를 보고 고쳤다. 진인사가 화장실에 다녀온 후 다정이가 칠판에 점프 푼 것을 보고 “틀린 것 같은데” 하고는 윤후와 대화를 하고 고치고 뿌듯해했다. 묻고 배우기에 편안하니 공부가 재미있다.

점프(1)을 하고 마침종이 쳤는데 선생님은 여유로웠다. 아이들이 틀린 것을 찾아내도록 기다렸다. 점프(2)는 발표 내용이 틀렸다. 쉬는 시간에 칠판에 풀이를 적어 주었다. 궁금한 것은 풀이를 수정하지 못한 아이들은 다음 시간에 복습하는가? 못 따라오는 아이는 어떻게 돕는가? 과정의 참여로 끝나는가?

수업자 : 끝난다. 답을 내기 위해 다시 푸는 것이 의미 있을까? 꼭 필요할 때만 다음 시간 시작할 때 풀어 본다.

수학(황) : 이 문제로 점프 되나? 아이들이 처음 배우니 해결할 것이 많다. 분배법칙을 처음 배우는 아이들이 어떻게 배우는지 한 번도 본 적이 없다. 이 과정이 필요하다는 것을 배운다.

가정 : 교과서는 안 쓰는가?

수업자 : 필요할 때 단원 정리를 하거나 어려운 문제를 풀게 한다.

수학(황) : 우리 학교라면 반란이 일어난다. 풀이 과정을 요구하면 어떻게 하라느냐며 소리친다.

수업자 : 이 나이에도 수업 공개에 긴장이 된다. 이 학교에서 5년 마치면 정년이다. 이 활동지는 김OO 선생님의 폼을 차용했다. 몇 번 고치려 했으나 김 선생님의 철학이 묻어 있음을 느낀다. 그대로 쓴다. ‘마음 날씨’ 이 철학을 읽는 사람은 감사하고 못 바꾼다. 저프 과제를 비려왔다. 가끔 아이들의 마음 날씨에 ‘짜증’이라 되어 있으면 “왜 그래?” 하고 감정을 물을 기회가 온다.

수학(김) : 마음 날씨를 뺀 적 있는데 한 아이가 왜 마음 날씨가 없느냐고 했다. 마음 날씨 기록이 아이들을 위로한다. 안 적으면 아무 일이 없다. 일이 있으면 적는다. 마음 날씨를 만들어 달라고 한다. 김OO 선생님을 뛰어넘을 수 없다.

수업자 : O영이가 잘 하는데 뛰어난 것은 아니다. 먼저 가르쳐 주려 한다. 말하면 잘하는 줄 아는데 OO이는 관심을 보이지 않고 불편해 한다. OO이가 8a를 쓰니 수영이가 8a 제곱으로 써야 된다고 했지만 OO이는 그대로 두었다. 자기 것보다 남 것 보기 바쁘다. 자기 것 안 하고 남 가르치려는 아이는 자존감이 높지 않다. 가르쳐 주는 것이 자랑스러운 줄 생각한다. 4월 1일에 모둠을 바꾸는데 공개 수업 앞이라 그대로 갔다.

민성이는 연필로 진하게 쓰고 쓰기 싫으니 암산한다. “써 주면 좋겠어.” 하니 과정을 썼다. 아이들에게 10점 중 답이 맞으면 1점이고 9점은 과정 점수라고 했다. 생각을 표현할 때 친구가 알아듣게 하라고 하고 과정을 늘리려고 하고 표현을 요구한다.

아이들이 틀리게 풀면 행복해진다. 내가 할 거리가 생긴다. “틀려서 배우는 거야. 안 틀리고 배운 것은 오래 못가.” 하고 답에 구애 안 받는다.

구미에 있을 때인데 학년 말에 멘사 퀴즈를 냈다. 5분 지나 정답을 요구하기에 끝까지 안 가르쳐 주었다. 다음 시간에 잘 하는 아이가 아님에도 “풀었어요.” 했다. 아이의 배움을 정리하면 배움을 단절한다는 것을 배우고 못할 때 기다리게 되었다.

점프(2)는 다시 안하고 싶다. 고민이 되어 찾아와야 배운다. 즉답을 피한다. 답을 이야기하지 않겠다.

수학(황) : 수학에서 과정을 적게 하는 것이 중요하다. 적으니 자기 표현을 한다. 적은 것을 읽어 주기만 해도 표현이 된다. 자기 생각으로 풀이를 말하기 어렵다. 식을 만들 수 없는 것도 식을 만들어 발표한다.

이 학교는 학교 스트레스가 없다. ‘작은 학교 살리기’로 학교가 바뀌었다. 창체 프로그램을 도입했다. 나의 딸이 이 학교를 졸업했는데 만족도 70/100에서 120/100이 되었다. 교사와 학부모의 노력으로 학생 자치가 스스로 되고 자생력이 있다.

 

●소감

아이들은 자기가 풀어보는 것도 즐겁고 망설임 없이 친구와 이야기를 한다. 관계가 좋다. 틀리게 하고 무엇이 틀렸는지 모르지만 한다. 칠판에 나가서 적고 친구들이 틀린 부분을 이야기해 주었다. 틀릴 수 있겠지만 부끄러워하지 않고 그냥 자기 생각대로 발표를 했다.

선생님은 답에 연연하지 않았다. 점프 과제를 해결하지 못했음에도 생각을 많이 한 것으로 만족해했다. 과정의 오류를 노출한 데서 아이들은 서로 짚어 줄 수 있었다.

아이들은 무엇을 배우고 있을까? “틀리면 어때 그래도 내가 해 볼 거야.” 이런 것이 아닐까. 선생님의 돌봄이란 무엇일까? 아이들 가장 가까이에 있는 것이라고 생각해 본다. 아이들에게는 아주 조금씩만 되돌리기를 한다. 그래서 자기들이 지우고 다시 할 과제가 그대로 남아 있다.

정답을 내지 못해도 쉬지 않고 풀어 보는 수학 시간, 천천히 가도 가면 되는 시간에 아이들은 끝없이 배움이 즐겁다.

 

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